Ensembles finis Exemples

$8 \cdot 2^{x} = 81 \cdot 3^{x - 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (8 \cdot 2^{x})$ comme $\ln (8) + \ln (2^{x})$ .

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Étape 2.2

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (81 \cdot 3^{x - 1})$ comme $\ln (81) + \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + \ln (3^{x - 1})$

Étape 3.2

Développez $\ln (3^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + (x - 1) \ln (3)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\ln (81) + (x - 1) \ln (3)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - \ln (3)$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (\frac{81}{3})$

Étape 4.1.3

Divisez $81$ par $3$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (27)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (8)$ et $x \ln (2)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = x \ln (3) + \ln (27)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2) + \ln (8) - x \ln (3) - \ln (27) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (\frac{8}{27}) = 0$

Étape 8

Soustrayez $\ln (\frac{8}{27})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Étape 9

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Étape 9.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Étape 9.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Étape 10

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ par $\ln (2) - \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ par $\ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Forme décimale :

$x = - 3$